Вся суть в том, что не может бесконечно делиться расстояние, допустим комната 4 метра, чтоб ее перешагать, то сначала надо пройти 4/2=2 метра, затем 2/1=1 метр, затем 1/2=0,5 метров и когда нибудь будет хоть0,000000000000000000000000000000000000000000000000001 миллиметр, но его надо будет пройти, неважно хоть и за 0,000000000000000000000000000000000001 секунду. Получается, что при многократном делении все таки получится ноль, а не какое то мизирное число. Вот теория Кантора, краткая, но её вообще невкурить блин. Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Суть парадоксов Зенона и состоит как раз Б том, что ни пространственные отрезки, ни временные промежутки недопустимо рассматривать как состоящие из бесконечно большого числа дискретных членов, изолированных друг от друга, как следы на снегу. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему - последовательную теорию бесконечных множеств. И так Кантором овладел вопрос о бесконечности. Это не значит, что им завладели думы о бесконечности в связи с богословием и Богом, которого теперь никто не принимает в расчет, хотя первоначально это была, несомненно, основополагающая идея. Нет, Кантор размышлял о том что будет если вы считаете 1, 2, 3, …. ? Чем заканчивается этот ряд? 1, 2, 3, ... w Я даю вам беглый обзор теории бесконечных множеств Кантора. Вы ставите за точками омегу, w. Это греческая литера, последняя литера в алфавите греков, поэтому выбрана именно она. И так вы говорите, что собираетесь записать следующее число вместо того, что бы прекратить счет ряда 1, 2, 3, … Это должно стать первым числом после всех конечных чисел. Это первое трансфинитное число. Вы допускаете это. Тогда вы можете продолжать некоторое время в таком духе 1, 2, 3, ... w, w+1, w+2, ... В результате вы имеете другой ряд, подобный ряду 1, 2, 3… : w, w+1, w+2, … Мы его показали. И затем вы спрашиваете себя: почему следует останавливаться здесь? Я же ведь могу продолжать и после этого? И так я могу 2w, 2w+1, +2, +3. Далее я могу 3w, 4w, ... Могу! Хорошо. Но что будет в конце всего этого? Почему надо останавливаться на этом? В результате мы приходим к w в квадрате. Очевидно так: 1, 2, 3, ... w, w+1, w+2, ... 2w, 3w, 4w, … w2 Но на этом вы не успокаиваетесь. Вы продолжаете двигаться дальше. 5w2 + 8w + 96! И затем, значительно позже приходите к кубу! Затем к w в четвертой степени. Но вы продолжаете двигаться дальше. Почему, собственно, вы должны останавливаться? Эта последовательность происходит всегда, но давайте поместим, в конце концов, что-нибудь в конце всего этого. Что там может быть? Было бы разумно w в степени w. Через некоторое время вы не знаете где оказались, и что с вами происходит. Тогда следующее число будет w в степени w в степени w. Это уже достаточно удаленное число! 1, 2, 3, ... w, w+1, w+2, ... 2w, 3w, 4w, ... w2, w3, w4, … ww, ... , www, … Здесь вы можете увидеть, почему все это приобретает теологический привкус. Это математический эквивалент наркотической зависимости. Вместо того, чтобы зависть от алкоголя или травки, вы становитесь зависимы от высоких идей подобных этим. Через какое-то время вы не знаете где находитесь, и что происходит. Тогда следующее число w в степени w в степени w в степени w в степени… и так далее. До бесконечности. wwwww ... Вот вам число - самое маленькое решение уравнения: x = wx И его назвали e0 . Ипсилон ноль. Я не знаю почему так. Наверное, постольку, поскольку у вас возникла проблема с тем как обозначать вещи, ведь до сих пор я использовал нормальные алгебраические записи которые привязаны к w. Так или иначе, но вы можете видеть, что это невероятная материя! Я не знаю, является ли это математикой, но это очень абстрактно, очень завораживающею. Из всего этого, сделанного Кантором, имелась целая масса замечательных результатов и интересных выводов для чистых математиков. Некоторые люди расценили теорию множеств как болезнь. Пуанкаре, великий французский математик, сказал, что теория множеств это болезнь от которой, он надеется, будущие поколения оправятся. Но другие принялись переделывать всю математику, используя теоретико-множественный подход. В итоге современная топология и многие абстрактные разделы математики XX века оказались в значительной степени результат этого самого теоретико-множественного подхода, который обобщил все. Математика XIX века была в некотором смысле на качественно более низком уровне, она была больше сосредоточена на решения узких, специальных вопросов и уравнений. Математика же двадцатого столетия (тяжело писать историю математики с тысяча девятисотого года, не заглядывая глубже) была теоретико-множественной. Она опиралась на "структурное" описание своих объектов. Математика девятнадцатого столетия была обеспокоена формулами, возможно бесконечными рядами Тейлора. Но математика двадцатого столетия поднялась на уровень теории множеств. И в этом была заслуга Кантора. Некоторые люди ненавидят все это, утверждая, что Кантор разрушил и разрушает математику. Он взял конкретную математику и создал что-то очень слабое, к примеру, вместо предметного анализа абстрактный анализ. Другим же людям подход Кантора очень понравилось. В общем, все это было очень спорным. Все это было крайне спорно. И что подлило масла в огонь - то, что вырисовались некоторые противоречия. И теперь это стало более чем вопрос вкуса. В жизни существуют такие ситуации, когда дело вашей жизни действительно постигла неудача. Когда вы получили очевидную ерунду из всего что сделали. И вот представьте, вы, фактически, получаете очевидную ерунду, чуть ли не из самой теоремы Кантора, которая говорит, что для любого бесконечного множества имеется большее бесконечное множество - множеством всех его подмножеств. Само это утверждение звучит довольно разумно. Это диагональная процедура Кантора (у меня нет времени углубляться в детали). Но проблема состоит в том, что если вы верите, что для любого бесконечного множества есть множество его подмножеств, то что случаться если вы это примените к универсальному множеству, множеству всех множеств? Проблема в том, что множество всех множеств имеет в себе все множества, но диагональный метод, возможно, дал бы вам большее множество, которое является множеством всех подмножеств всего. В общем, появилась проблема, и эта проблема была замечена Бертраном Расселом.
